Número de pés numa milha

Aqui estão um par de coisas divertidas que encontrei recentemente em relação ao número de pés numa milha. Ambos são frívolos, mas também têm um lado mais sério.

Mnemónica

P>Primeiro, pode-se usar “cinco tomates” como mnemónica para lembrar que há 5280 pés numa milha.

“Five tomatoes” é uma mnemónica para o número de pés numa milha porque soa como “cinco dois dois oito oh”

O número de metros num quilómetro é de 1.000. Infelizmente, não há mnemónica para isso. 😉

– Unidades (@UnitFact) 21 de Junho de 2019

Como argumentei anteriormente, os sistemas de unidades que agora parecem embaraçosos foram concebidos de acordo com critérios diferentes. Se apontasse a um inglês medieval que o número de pés numa milha é difícil de lembrar, ele poderia perguntar “Porque quer converter os pés em milhas?”

Muitos inteiros

O número de pés numa milha é muito próximo

e^{\pi \sqrt{67}/3}

O valor exacto da expressão acima é 5280.0000088… A diferença entre uma milha e exp(π √67 / 3) pés é inferior ao comprimento de uma bactéria E. coli.

Quando as pessoas vêem exemplos como este, uma expressão que não pode ser um número inteiro e que no entanto está estranhamente próxima de ser um número inteiro, alguns perguntam se existe uma razão. Outros pensam que a questão não tem sentido. “O número é igual a tudo o que é igual, e acontece que está perto de ser um número inteiro. E então?”

Mas há aqui alguma matemática mais profunda. Toco na razão neste post. 67 é um número Heegner, e assim exp(π √67) é quase um inteiro. Esse número inteiro é 5280³ + 744 e por isso exp(π √67 / 3) ≈ 5280.

Atrás é algo chamado a função j. Tem algo a ver com a razão pela qual algumas expressões são quase números inteiros. A propósito, o número 744 acima mencionado é o termo constante na expansão Laurent para a j-função.