Física

Objectivos de aprendizagem

No final desta secção, poderá:

  • Explicar os fenómenos de interferência.
  • Definir interferência construtiva para uma fenda dupla e interferência destrutiva para uma fenda dupla.

Embora Christiaan Huygens pensasse que a luz era uma onda, Isaac Newton não o fez. Newton sentiu que existiam outras explicações para a cor, e para os efeitos de interferência e difracção que eram observáveis na altura. Devido à enorme estatura de Newton, a sua visão prevaleceu geralmente. O facto de o princípio de Huygens ter funcionado não foi considerado uma prova suficientemente directa para provar que a luz é uma onda. A aceitação do carácter ondulatório da luz veio muitos anos mais tarde quando, em 1801, o médico e físico inglês Thomas Young (1773-1829) fez a sua experiência agora clássica de fenda dupla (ver Figura 1).

Um feixe de luz atinge uma parede através da qual um par de fendas verticais é cortado. Do outro lado da parede, outra parede mostra um padrão de linhas verticais de luz igualmente espaçadas que são da mesma altura que a fenda.

Figure 1. Experiência de fenda dupla de Young. Aqui a luz de puro comprimento de onda enviada através de um par de fendas verticais é difratada num padrão no ecrã de numerosas linhas verticais espalhadas horizontalmente. Sem difracção e interferência, a luz faria simplesmente duas linhas no ecrã.

Por que não observamos normalmente o comportamento ondulatório da luz, tal como observado na experiência da fenda dupla de Young? Primeiro, a luz deve interagir com algo pequeno, tal como as fendas estreitamente espaçadas utilizadas por Young, para mostrar efeitos de onda pronunciados. Além disso, Young passou primeiro a luz de uma única fonte (o Sol) através de uma única fenda para tornar a luz algo coerente. Por coerente, entendemos ondas estão em fase ou têm uma relação de fase definida. Incoerente significa que as ondas têm relações de fase aleatórias. Porque é que Young passou então a luz através de uma fenda dupla? A resposta a esta pergunta é que duas fendas fornecem duas fontes de luz coerentes que depois interferem de forma construtiva ou destrutiva. Young utilizou a luz solar, onde cada comprimento de onda forma o seu próprio padrão, tornando o efeito mais difícil de ver. Ilustramos a experiência da dupla fenda com luz monocromática (única λ) para esclarecer o efeito. A figura 2 mostra a pura interferência construtiva e destrutiva de duas ondas com o mesmo comprimento de onda e amplitude.

Figure a mostra três ondas sinusoidais com o mesmo comprimento de onda dispostas uma acima da outra. Os picos e os canais de cada onda estão alinhados com os das outras ondas. As duas ondas superiores são rotuladas onda um e onda dois e a onda inferior é rotulada como resultante. A amplitude das ondas um e dois são rotuladas como x e a amplitude da onda resultante é rotulada como dois x. A figura b mostra uma situação semelhante, excepto que os picos da onda dois estão agora alinhados com os dos canais da onda um. A onda resultante é agora uma linha horizontal recta no eixo x; ou seja, a linha y igual a zero.

Figure 2. As amplitudes das ondas acrescentam. (a) A interferência construtiva pura é obtida quando ondas idênticas estão em fase. (b) A interferência destrutiva pura ocorre quando ondas idênticas estão exactamente fora de fase, ou deslocadas por meio comprimento de onda.

Quando a luz passa por fendas estreitas, é difratada em ondas semicirculares, como se mostra na Figura 3a. A interferência construtiva pura ocorre onde as ondas são de crista a crista ou de calha a calha. A interferência destrutiva pura ocorre onde as ondas são cristas até à crista. A luz deve cair sobre um ecrã e ser espalhada nos nossos olhos para que possamos ver o padrão. A figura 3b mostra um padrão análogo para as ondas de água. Note-se que regiões de interferência construtiva e destrutiva saem das fendas em ângulos bem definidos para o feixe original. Estes ângulos dependem do comprimento de onda e da distância entre as fendas, como veremos abaixo.

A figura contém três partes. A primeira parte é um desenho que mostra frentes de onda paralelas aproximando-se de uma parede a partir da esquerda. As cristas são mostradas como linhas contínuas, e os canais são mostrados como linhas pontilhadas. Dois raios de luz passam através de pequenas fendas na parede e emergem num padrão em forma de leque a partir de duas fendas. Estas linhas vão para a direita até atingirem a parede da direita. Os pontos onde estas linhas de ventoinhas atingem a parede da direita são alternadamente rotulados como min e max. Os pontos min correspondem às linhas que ligam as cristas e calhas sobrepostas, e os pontos max correspondem às linhas que ligam as cristas sobrepostas. O segundo desenho é uma vista de cima de uma piscina de água com frentes de onda semicirculares que emanam de dois pontos do lado esquerdo da piscina que estão dispostos um por cima do outro. Estas ondas semicirculares sobrepõem-se entre si e formam um padrão muito semelhante ao padrão formado pelos arcos na primeira imagem. O terceiro desenho mostra uma linha pontilhada vertical, com alguns pontos a aparecerem mais brilhantes do que outros pontos. O padrão de luminosidade é simétrico em relação ao ponto médio desta linha. Os pontos próximos do ponto médio são os mais brilhantes. À medida que se move do ponto médio para cima, ou para baixo, os pontos tornam-se progressivamente mais escuros até que parece faltar um ponto. Se avançar ainda mais longe do ponto médio, os pontos aparecem novamente e tornam-se mais brilhantes, mas são muito menos brilhantes do que os pontos centrais. Se progredir ainda mais longe do ponto médio, os pontos tornam-se mais claros e depois desaparecem novamente, que é onde a linha pontilhada pára.

Figure 3. As fendas duplas produzem duas fontes coerentes de ondas que interferem. (a) A luz espalha-se (difracta) a partir de cada fenda, porque as fendas são estreitas. Estas ondas sobrepõem-se e interferem de forma construtiva (linhas brilhantes) e destrutiva (regiões escuras). Só podemos ver isto se a luz cair sobre um ecrã e for espalhada pelos nossos olhos. (b) O padrão de interferência de fendas duplas para ondas de água é quase idêntico ao da luz. A acção das ondas é maior em regiões de interferência construtiva e menor em regiões de interferência destrutiva. (c) Quando a luz que passou por fendas duplas cai sobre um ecrã, vemos um padrão como este. (crédito: PASCO)

Para compreender o padrão de interferência em fendas duplas, consideramos como duas ondas viajam das fendas para o ecrã, como ilustrado na Figura 4. Cada fenda é uma distância diferente de um determinado ponto do ecrã. Assim, números diferentes de comprimentos de onda encaixam em cada caminho. As ondas começam a partir das fendas em fase (crista a crista), mas podem acabar fora de fase (crista a crista) no ecrã se os caminhos diferirem em comprimento de onda por meio comprimento de onda, interferindo destrutivamente, como mostra a Figura 4a. Se os caminhos diferem por um comprimento de onda inteiro, então as ondas chegam em fase (crista a crista) ao ecrã, interferindo de forma construtiva, como mostra a Figura 4b. Mais genericamente, se os caminhos percorridos pelas duas ondas diferem por qualquer número de comprimentos de onda meio-integrais , então ocorre interferência destrutiva. Da mesma forma, se os caminhos percorridos pelas duas ondas diferirem por qualquer número integral de comprimentos de onda (λ, 2λ, 3λ, etc.), então ocorre interferência construtiva.

ambas as partes da figura mostram um esquema de uma experiência de fenda dupla. Duas ondas, cada uma das quais é emitida de uma fenda diferente, propagam-se das fendas para o ecrã. No primeiro esquema, quando as ondas se encontram no ecrã, uma das ondas está no máximo enquanto a outra está no mínimo. Este esquema é rotulado como escuro (interferência destrutiva). No segundo esquema, quando as ondas se encontram no écran, ambas as ondas estão no mínimo. Este esquema é rotulado de brilhante (interferência construtiva).

Figure 4. As ondas seguem caminhos diferentes desde as fendas até a um ponto comum num ecrã. (a) A interferência destrutiva ocorre aqui, porque um caminho é meio comprimento de onda mais longo do que o outro. As ondas começam em fase mas chegam fora de fase. (b) A interferência construtiva ocorre aqui, porque um caminho é um comprimento de onda inteiro mais longo do que o outro. As ondas começam e chegam em fase.

Take-Home Experiment: Usando Dedos como Fendas

Leve uma luz, tal como uma lâmpada de rua ou lâmpada incandescente, através do estreito espaço entre dois dedos mantidos juntos. Que tipo de padrão se vê? Como se altera quando se permite que os dedos se afastem um pouco mais? É mais distinto para uma fonte monocromática, tal como a luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio, do que para uma lâmpada incandescente?

A figura é um esquema de uma experiência de fenda dupla, com a escala das fendas ampliada para mostrar o detalhe. As duas fendas estão à esquerda, e o ecrã está à direita. As fendas são representadas por uma linha vertical espessa com duas fendas cortadas a uma distância d distante. Dois raios, um de cada fenda, ângulo para cima e para a direita, num ângulo teta acima da horizontal. No ecrã, estes raios são mostrados para convergir num ponto comum. O raio da fenda superior é rotulado l sub um, e o raio da fenda inferior é rotulado l sub dois. Nas fendas, é desenhado um triângulo direito, com a linha grossa entre as fendas formando a hipotenusa. A hipotenusa é rotulada de d, que é a distância entre as fendas. Um pedaço curto do raio da fenda inferior é rotulado delta l e forma o lado curto do triângulo direito. O lado longo do triângulo direito é formado por um segmento de linha que vai para baixo e para a direita desde a fenda superior até ao raio inferior. Este segmento de linha é perpendicular ao raio inferior, e o ângulo que faz com a hipotenusa é rotulado de teta. Por baixo deste triângulo está a fórmula delta l igual a d sine theta.

Figure 5. Os caminhos de cada fenda para um ponto comum no ecrã diferem por uma quantidade dsinθ, assumindo que a distância ao ecrã é muito maior do que a distância entre fendas (não à escala aqui).

Figure 5 mostra como determinar a diferença de comprimento do caminho para ondas que viajam de duas fendas para um ponto comum no ecrã. Se o ecrã estiver a uma grande distância em comparação com a distância entre as fendas, então o ângulo θ entre o caminho e uma linha das fendas até ao ecrã (ver a figura) é quase o mesmo para cada caminho. A diferença entre os caminhos é mostrada na figura; a trigonometria simples mostra-o a ser d pec θ, onde d é a distância entre as fendas. Para obter interferência construtiva para uma fenda dupla, a diferença do comprimento do caminho deve ser um múltiplo integral do comprimento de onda, ou d sin θ = mλ, para m = 0, 1, -1, 2, -2, . . (construtivo).

Simplesmente, para obter interferência destrutiva para uma fenda dupla, a diferença de comprimento de onda deve ser um múltiplo semi-integral do comprimento de onda, ou

d\sin\theta=esquerda(m+frac{1}{2}{2}direita)|lambda=texto{, para }m=0,1,-1,2,-2,-2,{(destrutivo)}texto{(destrutivo)},

onde λ é o comprimento de onda da luz, d é a distância entre fendas, e θ é o ângulo a partir da direcção original do feixe, como discutido acima. Chamamos m a ordem da interferência. Por exemplo, m = 4 é a interferência de quarta ordem.

As equações de interferência de fenda dupla implicam a formação de uma série de linhas claras e escuras. Para fendas verticais, a luz espalha-se horizontalmente em ambos os lados do feixe incidente num padrão chamado franjas de interferência, ilustrado na Figura 6. A intensidade das franjas brilhantes cai de ambos os lados, sendo a mais brilhante no centro. Quanto mais próximas estão as fendas, mais se espalha a intensidade das franjas brilhantes. Podemos ver isto examinando a equação d pecado θ = mλ, para m = 0, 1, -1, 2, -2, . . . .

Para fixo λ e m, quanto menor d é, maior θ deve ser, uma vez que {mm=lambda}{d}. Isto é consistente com o nosso argumento de que os efeitos de onda são mais notáveis quando o objecto que a onda encontra (aqui, corta uma distância d à parte) é pequeno. Pequeno d dá grande θ, daí um grande efeito.

A figura consiste em duas partes dispostas lado a lado. O diagrama do lado esquerdo mostra uma disposição de fenda dupla juntamente com um gráfico do padrão de intensidade resultante num ecrã distante. O gráfico é orientado verticalmente, para que os picos de intensidade cresçam para fora e para a esquerda a partir do ecrã. O pico de intensidade máxima está no centro do ecrã, e alguns picos menos intensos aparecem em ambos os lados do centro. Estes picos tornam-se progressivamente mais escuros ao afastar-se do centro, e são simétricos em relação ao pico central. A distância do máximo central até ao primeiro pico de intensidade é rotulada y sub um, e a distância do máximo central até ao segundo pico de intensidade é rotulada y sub dois. A ilustração do lado direito mostra barras horizontais espessas e brilhantes sobre um fundo escuro. Cada barra horizontal está alinhada com um dos picos de intensidade da primeira figura.

Figure 6. O padrão de interferência para uma fenda dupla tem uma intensidade que se desvia com o ângulo. A fotografia mostra múltiplas linhas brilhantes e escuras, ou franjas, formadas pela luz passando por uma fenda dupla.

Exemplo 1. Encontrar um comprimento de onda a partir de um Padrão de Interferência

P>Ponha-se a passagem da luz de um laser He-Ne através de duas fendas separadas por 0,0100 mm e verifique que a terceira linha brilhante num ecrã é formada por um ângulo de 10,95º em relação ao feixe incidente. Qual é o comprimento de onda da luz?

Estratégia

A terceira linha brilhante é devida a interferência construtiva de terceira ordem, o que significa que m = 3. Dão-nos d = 0,0100 mm e θ = 10,95º. O comprimento de onda pode assim ser encontrado usando a equação d sin θ = mλ para interferência construtiva.

Solução

A equação é d sin θ = mλ. Resolvendo o comprimento de onda λ dá \lambda==frac{d{d=sintheta}{m}{m}.

Substituindo valores conhecidos rendimentos

begin{array}{lll}{lambda&&frac{esquerda(0.0100) texto(nm) direita){esquerda({sin10.95^{{\i1}{3}texto{\i1}&

=&6.33 vezes10^{-4}{{ nm}=633text{ nm}}end{ nm}

Discussão

A três dígitos, este é o comprimento de onda da luz emitida pelo laser comum He-Ne. Não por coincidência, esta cor vermelha é semelhante à emitida pelas luzes de néon. Mais importante, porém, é o facto de que os padrões de interferência podem ser usados para medir o comprimento de onda. Young fez isto para os comprimentos de onda visíveis. Esta técnica analítica ainda é amplamente utilizada para medir espectros electromagnéticos. Para uma dada ordem, o ângulo de interferência construtiva aumenta com λ, para que os espectros (medições de intensidade versus comprimento de onda) possam ser obtidos.

Exemplo 2. Cálculo da ordem mais alta possível

Padrões de interferência não têm um número infinito de linhas, uma vez que existe um limite para o tamanho do m. Qual é a maior interferência construtiva possível com o sistema descrito no exemplo anterior?

Estratégia e Conceito

A equação d pecado θ = mλ (para m = 0, 1, -1, 2, -2, . . . ) descreve a interferência construtiva. Para valores fixos de d e λ, quanto maior for m, maior é o pecado θ. No entanto, o valor máximo que o pecado θ pode ter é 1, para um ângulo de 90º. (Ângulos maiores implicam que a luz retrocede e não chega de todo ao ecrã). Vamos descobrir qual m corresponde a este ângulo máximo de difracção.

Solução

Solver a equação d pecado θ = mλ para m dá \lambda==frac{d=sintheta}{m}{m}.

P>Pecado de pegar θ = 1 e substituindo os valores de d e λ do exemplo anterior dá

displaystyle{m}=frac{esquerda(0.0100{mm}{esquerda(1}{633}{633}texto{ nm}}{aprox15.8}

Por isso, o maior inteiro m pode ser 15, ou m = 15.

Discussão

O número de franjas depende do comprimento de onda e da separação das fendas. O número de franjas será muito grande para grandes separações em fendas. Contudo, se a separação da fenda se tornar muito maior do que o comprimento de onda, a intensidade do padrão de interferência muda de modo a que o ecrã tenha duas linhas brilhantes lançadas pelas fendas, como se espera quando a luz se comporta como um raio. Também notamos que as franjas se afastam cada vez mais do centro. Consequentemente, nem todas as 15 franjas podem ser observáveis.

Section Summary

  • A experiência da dupla fenda deYoung deu uma prova definitiva do carácter ondulatório da luz.
  • Um padrão de interferência é obtido pela sobreposição de luz de duas fendas.
  • Há interferência construtiva quando d peca θ = mλ (para m = 0, 1, -1, 2, -2, . . ), onde d é a distância entre as fendas, θ é o ângulo relativo à direcção do incidente, e m é a ordem da interferência.
  • Há interferência destrutiva quando d peca θ = mλ (para m = 0, 1, -1, 2, -2, . . . ).

Perguntas Conceituais

  1. A experiência da fenda dupla de Young quebra um único feixe de luz em duas fontes. Seria obtido o mesmo padrão para duas fontes de luz independentes, tais como os faróis de um carro distante? Explique.
  2. Se utilizar a mesma fenda dupla para realizar a experiência da fenda dupla de Young no ar e depois repetir a experiência na água. Os ângulos para as mesmas partes do padrão de interferência ficam maiores ou menores? Será que a cor da luz muda? Explique.
  3. É possível criar uma situação em que existe apenas interferência destrutiva? Explain.
  4. Figure 7 mostra a parte central do padrão de interferência para um comprimento de onda puro de luz vermelha projectada sobre uma fenda dupla. O padrão é na realidade uma combinação de fenda simples e dupla interferência de fenda. Note-se que as manchas brilhantes estão uniformemente espaçadas. Esta é uma característica de uma fenda dupla ou de uma fenda simples? Note-se que algumas das manchas brilhantes são escuras em ambos os lados do centro. Esta é uma característica de fenda simples ou de fenda dupla? Qual é mais pequena, a largura da fenda ou a separação entre as fendas? Explique as suas respostas.
A figura mostra uma fotografia de uma linha horizontal de pontos vermelhos igualmente espaçados de luz sobre um fundo preto. O ponto central é o mais brilhante e os pontos de cada lado do centro são mais escuros. A intensidade do ponto diminui para quase zero após mover seis pontos para a esquerda ou para a direita do centro. Se continuar a afastar-se do centro, a luminosidade do ponto aumenta ligeiramente, embora não atinja a luminosidade do ponto central. Depois de mover mais seis pontos, ou doze pontos no total, para a esquerda ou direita do centro, há outro ponto quase invisível. Se se afastar ainda mais do centro, a intensidade do ponto aumenta novamente, mas não alcança o nível do máximo local anterior. A dezoito pontos do centro, há outro ponto quase invisível.

Figure 7. Este padrão de interferência de fenda dupla também mostra sinais de interferência de fenda simples. (crédito: PASCO)

Problemas & Exercícios

  1. Em que ângulo é a luz azul de primeira ordem para 450 nm de comprimento de onda caindo em fendas duplas separadas por 0.0500 mm?
  2. Calcular o ângulo para o máximo de terceira ordem de 580 nm de comprimento de onda de luz amarela caindo sobre fendas duplas separadas por 0.100 mm?
  3. Qual é a separação entre duas fendas para as quais a luz laranja de 610 nm tem o seu primeiro máximo num ângulo de 30,0º?
  4. Conhece a distância entre duas fendas que produz o primeiro mínimo para a luz violeta de 410 nm num ângulo de 45.0º.
  5. Calcular o comprimento de onda da luz que tem o seu terceiro mínimo a um ângulo de 30,0º ao cair em fendas duplas separadas por 3,00 μm.
  6. Qual é o comprimento de onda da luz que cai em fendas duplas separadas por 2,00 μm se o máximo da terceira ordem estiver a um ângulo de 60,0º?
  7. Em que ângulo está o máximo da quarta ordem para a situação da pergunta 1?
  8. Qual é o máximo da maior ordem para a queda de luz de 400 nm em fendas duplas separadas por 25,0 μm?
  9. Deve encontrar o maior comprimento de onda de luz a cair em fendas duplas separadas por 1,20 μm para a qual existe um máximo de primeira ordem. Isto está na parte visível do espectro?
  10. Qual é a menor separação entre duas fendas que produzirá um máximo de segunda ordem para uma luz vermelha de 720 nm?
  11. (a) Qual é a menor separação entre duas fendas que produzirá um máximo de segunda ordem para qualquer luz visível? (b) Para toda a luz visível?
  12. (a) Se o máximo de primeira ordem para luz de comprimento de onda puro que cai sobre uma fenda dupla está num ângulo de 10,0º, em que ângulo está o máximo de segunda ordem? (b) Qual é o ângulo da primeira ordem mínima? (c) Qual é o máximo de ordem mais alta possível aqui?
  13. Figure 8 mostra uma fenda dupla localizada a uma distância x de um ecrã, com a distância do centro do ecrã dada por y. Quando a distância d entre as fendas é relativamente grande, haverá numerosos pontos brilhantes, chamados franjas. Mostrar que, para ângulos pequenos (onde {sin{sin}textos aproximam-se, com θ em radianos), a distância entre as franjas é dada por Delta{y}=frac{xlambda}{d}.
    A figura mostra um esquema de uma experiência de fenda dupla. Uma fenda dupla está à esquerda e um ecrã está à direita. As fendas são separadas por uma distância d. Do ponto médio entre as fendas, uma linha horizontal rotulada x estende-se até ao ecrã. Do mesmo ponto, uma linha inclinada para cima num ângulo teta acima da horizontal estende-se também até ao ecrã. A distância entre onde a linha horizontal atinge o ecrã e onde a linha angular atinge o ecrã é marcada y, e a distância entre franjas adjacentes é dada por delta y, que é igual a x vezes lambda sobre d.

    Figure 8. A distância entre franjas adjacentes é \Delta{y}==frac{x\lambda}{d}, assumindo que a separação da fenda d é grande em comparação com λ.

  14. Li>Utilizando o resultado do problema acima, calcular a distância entre franjas para 633-nm de luz caindo em fendas duplas separadas por 0.0800 mm, localizado a 3,00 m de um ecrã como na Figura 8.

  15. Usando o resultado do problema dois problemas anteriores, encontrar o comprimento de onda da luz que produz franjas com 7,50 mm de distância num ecrã a 2,00 m de fendas duplas separadas por 0,120 mm (ver Figura 8).

Glossary

coerente: as ondas estão em fase ou têm uma relação de fase definida

interferência construtiva para uma fenda dupla: a diferença do comprimento de onda deve ser um múltiplo integral do comprimento de onda

interferência destrutiva para uma fenda dupla: a diferença de comprimento de trajecto deve ser um múltiplo semi-integral do comprimento de onda

incoherente: as ondas têm relações de fase aleatórias

ordem: o inteiro m utilizado nas equações de interferência construtiva e destrutiva para uma fenda dupla

Soluções seleccionadas para problemas & Exercícios

1. 0,516º

3. 1,22 × 10-6 m

5. 600 nm

7. 2,06º

9. 1200 nm (não visível)

11. (a) 760 nm; (b) 1520 nm

13. Para pequenos ângulos de pecado θ – tan θ ≈ θ (em radianos).

Para duas franjas adjacentes que temos, d pecado θm = mλ e d pecado θm + 1 = (m + 1)λ

Subtrair estas equações dá

begin{array}{\i}{\i1}d esquerda(sin{\i}theta {\i}_texto{m}+1}-\esquerda esquerda(texto) esquerda(texto) + 1…theta {\i1}theta {\i}{\i1}theta {\i}_texto\dfrac{y}{x}{xxtxtxt{m}{xright)=lambda dfrac{delta y}{x}=lambda y=lambda y=fracm{xlambda y=fracm{xlambda }{dend{d{delta y=p>15. 450 nm