Processus isentropique

En dynamique des fluides, un écoulement isentropique est un écoulement de fluide qui est à la fois adiabatique et réversible. C’est-à-dire qu’aucune chaleur n’est ajoutée à l’écoulement, et qu’aucune transformation d’énergie ne se produit en raison de la friction ou des effets dissipatifs. Pour un écoulement isentropique d’un gaz parfait, plusieurs relations peuvent être dérivées pour définir la pression, la densité et la température le long d’une ligne de courant.

Notez que l’énergie peut être échangée avec l’écoulement dans une transformation isentropique, tant que cela ne se produit pas sous forme d’échange de chaleur. Un exemple d’un tel échange serait une expansion ou une compression isentropique qui implique un travail effectué sur ou par le flux.

Pour un flux isentropique, la densité d’entropie peut varier entre différentes lignes de courant. Si la densité d’entropie est la même partout, alors l’écoulement est dit homentropique.

Dérivation des relations isentropiquesEdit

Pour un système fermé, le changement total d’énergie d’un système est la somme du travail effectué et de la chaleur ajoutée :

d U = δ W + δ Q . {\displaystyle dU=\delta W+\delta Q.}

{\displaystyle dU=\delta W+\delta Q.}

Le travail réversible effectué sur un système en changeant le volume est

δ W = – p d V , {\displaystyle \delta W=-p\,dV,}

{\displaystyle \delta W=-p\,dV,}

où p {\displaystyle p}.

p

est la pression, et V {\displaystyle V}

V

est le volume. La variation de l’enthalpie ( H = U + p V {\displaystyle H=U+pV}

H=U+pV

) est donnée par d H = d U + p d V + V d p . {\displaystyle dH=dU+p\,dV+V\,dp.}

{\displaystyle dH=dU+p\,dV+V\,dp.}

Alors pour un processus à la fois réversible et adiabatique (c’est-à-dire qu’il n’y a pas de transfert de chaleur), δ Q rev = 0 {\displaystyle \delta Q_{\text{rev}}=0}.

{\displaystyle \delta Q_{\text{rev}}=0}

, et donc d S = δ Q rev / T = 0 {\displaystyle dS=\delta Q_{\text{rev}}/T=0}

{\displaystyle dS=\delta Q_{\text{rev}}/T=0}

Tous les processus adiabatiques réversibles sont isentropiques. Cela conduit à deux observations importantes : d U = δ W + δ Q = – p d V + 0 , {\displaystyle dU=\delta W+\delta Q=-p\,dV+0,}

{\displaystyle dU=\delta W+\delta Q=-p\,dV+0,}

d H = δ W + δ Q + p d V + V d p = – p d V + 0 + p d V + V d p = V d p . {\displaystyle dH=\delta W+\delta Q+p\,dV+V\,dp=-p\,dV+0+p\,dV+V\,dp=V\,dp.}

{\displaystyle dH=\delta W+\delta Q+p\,dV+V\,dp=-p\,dV+0+p\,dV+V\,dp=V\,dp.}

Ainsi, on peut calculer beaucoup de choses pour les processus isentropiques d’un gaz idéal. Pour toute transformation d’un gaz idéal, il est toujours vrai que

d U = n C v d T {\displaystyle dU=nC_{v}\,dT}.

{\displaystyle dU=nC_{v}\,dT}

, et d H = n C p d T . {\displaystyle dH=nC_{p}\,dT.}

{{displaystyle dH=nC_{p}\,dT.}

Utilisant les résultats généraux dérivés ci-dessus pour d U {\displaystyle dU}.

dU

et d H {\displaystyle dH}

dH

, alors d U = n C v d T = – p d V , {\displaystyle dU=nC_{v}\,dT=-p\,dV,}

{\displaystyle dU=nC_{v}\,dT=-p\,dV,}

d H = n C p d T = V d p . {\displaystyle dH=nC_{p}\,dT=V\,dp.}

{\displaystyle dH=nC_{p}\,dT=V\,dp.}

Donc, pour un gaz idéal, le rapport de capacité thermique peut s’écrire comme

γ = C p C V = – d p / p d V / V . {\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}=-{\frac {dp/p}{dV/V}}.}

{{displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}=-{\frac {dp/p}{dV/V}}.}

Pour un gaz caloriquement parfait γ {\displaystyle \gamma }

\gamma

est constant. Par conséquent, en intégrant l’équation ci-dessus, en supposant un gaz caloriquement parfait, on obtient p V γ = constante , {\displaystyle pV^{\gamma }={\text{constant}},

{{displaystyle pV^{\gamma }={\text{constant}},}

c’est-à-dire,

p 2 p 1 = ( V 1 V 2 ) γ . {\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma }.}

{\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma }.

En utilisant l’équation d’état d’un gaz idéal, p V = n R T {\displaystyle pV=nRT}

{\displaystyle pV=nRT}

, T V γ – 1 = constante . {\displaystyle TV^{\gamma -1}={\text{constant}}.}

{{displaystyle TV^{\gamma -1}={\text{constant}}.}

(Preuve : P V γ = constante ⇒ P V V γ – 1 = constante ⇒ n R T V γ – 1 = constante . {\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}\Rightarrow PV\,V^{\gamma -1}={\text{constant}}\Rightarrow nRT\,V^{\gamma -1}={\text{constant}}.}

{\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}\Rightarrow PV\,V^{\gamma -1}={\text{constant}}\Rightarrow nRT\,V^{\gamma -1}={\text{constant}}.}

Mais nR = constante elle-même, donc T V γ – 1 = constante {\displaystyle TV^{\gamma -1}={\text{constant}}.

{\displaystyle TV^{\gamma -1}={\text{constant}}

.) p γ – 1 T γ = constante {\displaystyle {\frac {p^{\gamma -1}{T^{\gamma }}={\text{constant}}

{\displaystyle {\frac {p^{\gamma -1}{T^{\gamma }}}={\text{constant}}

aussi, pour une constante C p = C v + R {\displaystyle C_{p}=C_{v}+R}

C_{p}=C_{v}+R

(par mole), V T = n R p {\displaystyle {\frac {V}{T}}={\frac {nR}{p}}}

{\frac {V}{T}}={\frac {nR}{p}}

et p = n R T V {\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}}

p={\frac {nRT}{V}

S 2 – S 1 = n C p ln ( T 2 T 1 ) – n R ln ( p 2 p 1 ) {\displaystyle S_{2}-S_{1}=nC_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}\right)-nR\ln \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)}

S_{2}-S_{1}=nC_{p}\ln \left({\frac {T_{2}{T_{1}}}\right)-nR\ln \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}\right)

S 2 – S 1 n = C p ln ( T 2 T 1 ) – R ln ( T 2 V 1 T 1 V 2 ) = C v ln ( T 2 T 1 ) + R ln ( V 2 V 1 ) {\displaystyle {\frac {S_{2}-S_{1}}{n}}=C_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {T_{2}V_{1}}}{T_{1}V_{2}}}\right)=C_{v}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)+R\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}right)}

{\frac {S_{2}-S_{1}}}{n}}=C_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {T_{2}V_{1}}{T_{1}V_{2}}\right)=C_{v}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)+R\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}\right)

Donc pour les processus isentropiques avec un gaz idéal,

T 2 = T 1 ( V 1 V 2 ) ( R / C v ) {\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}\right)^{(R/C_{v})}}

T_{2}=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}\right)^{(R/C_{v})}

ou V 2 = V 1 ( T 1 T 2 ) ( C v / R ) {\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}\right)^{(C_{v}/R)}}

V_{2}=V_{1}\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}\right)^{(C_{v}/R)}

Tableau des relations isentropiques pour un gaz idéalEdit

Dérivé de

P V γ = constante , {\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}},}

{\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}},}

P V = m R s T , {\displaystyle PV=mR_{s}T,}

{\displaystyle PV=mR_{s}T,}

P = ρ R s T , {\displaystyle P=\rho R_{s}T,}

{\displaystyle P=\rho R_{s}T,}

où :

P {\displaystyle P}

P

= pression, V {\displaystyle V}

V

= volume, γ {\displaystyle \gamma }

\gamma

= rapport des chaleurs spécifiques = C p / C v {\displaystyle C_{p}/C_{v}}

C_p/C_v

, T {\displaystyle T}

T

= température, m {\displaystyle m}

m

= masse, R s {\displaystyle R_{s}}

R_s

= constante des gaz pour le gaz spécifique = R / M {\displaystyle R/M}

{\displaystyle R/M}

, R {\displaystyle R}

R

= constante universelle des gaz, M {\displaystyle M}

M

= poids moléculaire du gaz spécifique, ρ {\displaystyle \rho }.

\rho

= densité, C p {\displaystyle C_{p}}.

C_{p}

= chaleur spécifique à pression constante, C v {\displaystyle C_{v}}

C_{v}

= chaleur spécifique à volume constant.