Ellissoide

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L’ellissoide generale, chiamato anche ellissoide triassiale, è una superficie quadratica che è data in coordinate cartesiane da

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=1,
(1)

dove i semiassi sono di lunghezza ab, e c. In coordinate sferiche, questo diventa

(r^2cos^2thetasin^2phi)/(a^2)+(r^2sin^2thetasin^2phi)/(b^2)+(r^2cos^2phi)/(c^2)=1.
(2)

Se le lunghezze di due assi di un ellissoide sono uguali, la figura è chiamata sferoide (a seconda che sia ca o ca, rispettivamente uno sferoide oblato o uno sferoide prolato), e se tutti e tre sono uguali, è una sfera. Tietze (1965, p. 28) chiama l’ellissoide generale “ellissoide triassiale”.

In ogni ellissoide ci sono due famiglie di sezioni circolari parallele. Tuttavia, le due coincidono per gli sferoidi (Hilbert e Cohn-Vossen 1999, pp. 17-19). Se le due serie di cerchi sono fissate insieme da fessure opportunamente scelte in modo che siano libere di ruotare senza scivolare, il modello è mobile. Inoltre, i dischi possono sempre essere spostati nella forma di una sfera (Hilbert e Cohn-Vossen 1999, p. 18).

Nel 1882, Staude scoprì una costruzione a “filo” per un ellissoide analoga alla costruzione a matita tesa e corda dell’ellisse (Hilbert e Cohn-Vossen 1999, pp. 19-22). Questa costruzione fa uso di un quadro fisso costituito da un’ellisse e un’iperbole.

Le equazioni parametriche di un ellissoide possono essere scritte come

x = acosusinv
(3)
y = bsinusinv
(4)
z
= ccosv.
(5)

per u in.

In questa parametrizzazione, i coefficienti della prima forma fondamentale sono

E = (b^2cos^2u+a^2sin^2u)sin^2v
(6)
F = (b^2-a^2)cosusinucosvsinv
(7)
G = (a^2cos^2u+b^2sin^2u)cos^2v+c^2sin^2v,
(8)

e della seconda forma fondamentale sono

e = (abcsin^2v)/(sqrt(a^2b^2cos^2v+c^2(b^2cos^2u+a^2sin^2u)sin^2v))
(9)
f = 0
(10)
g = (abc)/(sqrt(a^2b^2cos^2v+c^2(b^2cos^2u+a^2sin^2u)sin^2v)).
(11)

Anche in questa parametrizzazione, la curvatura gaussiana è

K=(a^2b^2c^2)/(^2)
(12)

e la curvatura media è

H=(abc)/(8^(3/2)).
(13)

La curvatura gaussiana può essere data implicitamente da

K(x,y,z) = (a^2b^6c^6)/(^2)
(14)
= (a^6b^2c^6)/(^2)
(15)
= (a^6b^6c^2)/(^2).
(16)

La superficie di un ellissoide è data da

S = 2piabnsthetaint_0^theta((dn^2theta)/(dn^2u)+(cn^2theta)/(cn^2u))du
(17)
= 2pi,
(18)

dove ns(theta)dn(theta), e cn(theta) sono funzioni ellittiche Jacobi con modulo k,

k = (e_2)/(e_1)
(19)
e_1 = sqrt((a^2-c^2)/(a^2))
(20)
e_2 = sqrt((b^2-c^2)/(b^2)),
(21)

E(phi,k) è un integrale ellittico incompleto del secondo tipo, am(phi) è l’ampiezza di Jacobi con modulo k, e theta è dato dall’inversione dell’espressione

e_1=sn(theta,k),
(22)

dove sn(theta) è un’altra funzione ellittica di Jacobi con modulo k (Bowman 1961, pp. 31-32; errore corretto).

Un’altra forma dell’equazione della superficie è

S=2pi,
(23)

dove

phi=sin^(-1)(sqrt(1-(c^2)/(a^2))).
(24)

L’area superficiale può anche essere ottenuta direttamente dalla prima forma fondamentale come

S = int_0^piint_0^(2pi)sqrt(EG-F^2)dthetadphi
(25)
= int_0^pisinphiint_0^(2pi)sqrt(a^2b^2cos^2phi+c^2(b^2cos^2theta+a^2sin^2theta)sin^2phi)dthetadphi
(26)
= 2sqrt(2)bint_0^pisqrt(a^2+c^2+(a^2-c^2)cos(2phi))sinphi×E(c/bsqrt((2(b^2-a^2))/(a^2+c^2+(a^2-c^2)cos(2phi)))sinphi)dphi.
(27)

Una diversa parametrizzazione dell’ellissoide è il cosiddetto ellissoide stereografico,dato dalle equazioni parametriche

x(u,v) = (a(1-u^2-v^2))/(1+u^2+v^2)
(28)
y(u,v) = (2bu)/(1+u^2+v^2)
(29)
z(u,v) = (2cv)/(1+u^2+v^2).
(30)

EllipsoidMercator

Una terza è la parametrizzazione Mercator

x(u,v) = asechvcosu
(31)
y(u,v) = bsechvsinu
(32)
z(u,v) = ctanhv
(33)

(Gray 1997).

La funzione di supporto dell’ellissoide è

h=((x^2)/(a^4)+(y^2)/(b^4)+(z^2)/(c^4))^(-1/2),
(34)

e la curvatura gaussiana è

K=(h^4)/(a^2b^2c^2)
(35)

(Gray 1997, p. 296).

Il volume del solido delimitato da un ellissoide con semiassi di lunghezza a,b,c è dato da

V=4/3piabc.
(36)

I centroidi geometrici dei semiellissoidi solidi lungo la xy-, e z-gli assi sono

x^_ = 3/(16)a
(37)
y^_ = 3/(16)b
(38)
z^_ = 3/(16)c.
(39)

Il momento di tensore d’inerzia di un ellissoide solido è dato da

I=.
(40)