Física

Objetivos de aprendizaje

Al finalizar esta sección, serás capaz de:

  • Explicar el fenómeno de la interferencia.
  • Definir la interferencia constructiva para una doble rendija y la interferencia destructiva para una doble rendija.

Aunque Christiaan Huygens pensaba que la luz era una onda, Isaac Newton no. Newton consideraba que había otras explicaciones para el color, y para los efectos de interferencia y difracción que eran observables en ese momento. Debido a la enorme estatura de Newton, su opinión prevaleció en general. El hecho de que el principio de Huygens funcionara no se consideraba una prueba lo suficientemente directa como para demostrar que la luz es una onda. La aceptación del carácter ondulatorio de la luz llegó muchos años después, cuando, en 1801, el físico y médico inglés Thomas Young (1773-1829) realizó su ya clásico experimento de la doble rendija (véase la figura 1).

Un haz de luz incide en una pared a través de la cual se corta un par de rendijas verticales. Al otro lado de la pared, otra pared muestra un patrón de líneas verticales de luz igualmente espaciadas que tienen la misma altura que la rendija.

Figura 1. Experimento de la doble rendija de Young. Aquí la luz de longitud de onda pura enviada a través de un par de rendijas verticales se difracta en un patrón en la pantalla de numerosas líneas verticales extendidas horizontalmente. Sin la difracción y la interferencia, la luz simplemente formaría dos líneas en la pantalla.

¿Por qué no observamos normalmente un comportamiento ondulatorio de la luz, como el observado en el experimento de la doble rendija de Young? En primer lugar, la luz debe interactuar con algo pequeño, como las rendijas estrechamente espaciadas utilizadas por Young, para mostrar efectos ondulatorios pronunciados. Además, Young hizo pasar primero la luz de una sola fuente (el Sol) a través de una sola rendija para que la luz fuera algo coherente. Por coherente se entiende que las ondas están en fase o tienen una relación de fase definida. Incoherente significa que las ondas tienen relaciones de fase aleatorias. ¿Por qué pasó entonces Young la luz por una doble rendija? La respuesta a esta pregunta es que dos rendijas proporcionan dos fuentes de luz coherentes que luego interfieren constructiva o destructivamente. Young utilizó la luz solar, donde cada longitud de onda forma su propio patrón, lo que hace que el efecto sea más difícil de ver. Ilustramos el experimento de la doble rendija con luz monocromática (una sola λ) para aclarar el efecto. La figura 2 muestra la interferencia constructiva y destructiva pura de dos ondas que tienen la misma longitud de onda y amplitud.

La figura a muestra tres ondas sinusoidales con la misma longitud de onda dispuestas una encima de la otra. Los picos y valles de cada onda están alineados con los de las otras ondas. Las dos ondas superiores se denominan onda uno y onda dos y la onda inferior se denomina resultante. La amplitud de las ondas uno y dos se etiquetan como x y la amplitud de la onda resultante se etiqueta como dos x. La figura b muestra una situación similar, excepto que los picos de la onda dos ahora se alinean con los valles de la onda uno. La onda resultante es ahora una línea recta horizontal en el eje x; es decir, la línea y es igual a cero.

Figura 2. Las amplitudes de las ondas se suman. (a) La interferencia constructiva pura se obtiene cuando ondas idénticas están en fase. (b) La interferencia destructiva pura se produce cuando ondas idénticas están exactamente desfasadas, o desplazadas media longitud de onda.

Cuando la luz pasa por rendijas estrechas, se difracta en ondas semicirculares, como se muestra en la figura 3a. La interferencia constructiva pura se produce cuando las ondas van de cresta a cresta o de valle a valle. La interferencia destructiva pura se produce cuando las ondas van de cresta a depresión. La luz debe caer en una pantalla y dispersarse en nuestros ojos para que podamos ver el patrón. En la figura 3b se muestra un patrón análogo para las ondas de agua. Obsérvese que las regiones de interferencia constructiva y destructiva salen de las rendijas con ángulos bien definidos respecto al haz original. Estos ángulos dependen de la longitud de onda y de la distancia entre las rendijas, como veremos a continuación.

La figura contiene tres partes. La primera parte es un dibujo que muestra frentes de onda paralelos acercándose a una pared desde la izquierda. Las crestas se muestran como líneas continuas, y los valles se muestran como líneas punteadas. Dos rayos de luz pasan a través de pequeñas rendijas en la pared y emergen en forma de abanico desde dos rendijas. Estas líneas se abren en abanico hacia la derecha hasta chocar con la pared de la derecha. Los puntos en los que estas líneas en abanico chocan con la pared de la derecha se etiquetan alternativamente como mínimo y máximo. Los puntos mínimos corresponden a las líneas que conectan las crestas y los valles superpuestos, y los puntos máximos corresponden a las líneas que conectan las crestas superpuestas. El segundo dibujo es una vista desde arriba de un estanque de agua con frentes de onda semicirculares que emanan de dos puntos del lado izquierdo del estanque que están dispuestos uno encima del otro. Estas ondas semicirculares se superponen entre sí y forman un patrón muy parecido al formado por los arcos de la primera imagen. El tercer dibujo muestra una línea vertical de puntos, en la que algunos puntos aparecen más brillantes que otros. El patrón de brillo es simétrico en torno al punto medio de esta línea. Los puntos cercanos al punto medio son los más brillantes. A medida que se desplaza desde el punto medio hacia arriba, o hacia abajo, los puntos se vuelven progresivamente más tenues hasta que parece que falta un punto. Si se aleja aún más del punto medio, los puntos aparecen de nuevo y se vuelven más brillantes, pero son mucho menos brillantes que los puntos centrales. Si se avanza aún más desde el punto medio, los puntos vuelven a ser más tenues y luego desaparecen de nuevo, que es donde se detiene la línea de puntos.

Figura 3. Las rendijas dobles producen dos fuentes coherentes de ondas que interfieren. (a) La luz se propaga (difracta) desde cada rendija, porque las rendijas son estrechas. Estas ondas se superponen e interfieren constructivamente (líneas brillantes) y destructivamente (regiones oscuras). Sólo podemos ver esto si la luz cae en una pantalla y se dispersa en nuestros ojos. (b) El patrón de interferencia de doble rendija para las ondas de agua es casi idéntico al de la luz. La acción de las ondas es mayor en las regiones de interferencia constructiva y menor en las regiones de interferencia destructiva. (c) Cuando la luz que ha pasado por las dobles rendijas cae en una pantalla, vemos un patrón como éste. (crédito: PASCO)

Para entender el patrón de interferencia de la doble rendija, consideramos cómo viajan dos ondas desde las rendijas hasta la pantalla, como se ilustra en la figura 4. Cada rendija está a una distancia diferente de un punto determinado de la pantalla. Por lo tanto, en cada trayecto caben diferentes números de longitudes de onda. Las ondas parten de las rendijas en fase (de cresta a cresta), pero pueden acabar desfasadas (de cresta a depresión) en la pantalla si las trayectorias difieren en media longitud de onda, interfiriendo destructivamente como se muestra en la Figura 4a. Si las trayectorias difieren en una longitud de onda entera, entonces las ondas llegan en fase (cresta a cresta) a la pantalla, interfiriendo constructivamente como se muestra en la Figura 4b. De forma más general, si las trayectorias de las dos ondas difieren en un número semi-integral de longitudes de onda, se produce una interferencia destructiva. Del mismo modo, si las trayectorias tomadas por las dos ondas difieren en cualquier número integral de longitudes de onda (λ, 2λ, 3λ, etc.), entonces se produce una interferencia constructiva.

Ambas partes de la figura muestran un esquema de un experimento de doble rendija. Dos ondas, cada una de las cuales se emite desde una rendija diferente, se propagan desde las rendijas hasta la pantalla. En el primer esquema, cuando las ondas se encuentran en la pantalla, una de las ondas está en un máximo mientras que la otra está en un mínimo. Este esquema está marcado como oscuro (interferencia destructiva). En el segundo esquema, cuando las ondas se encuentran en la pantalla, ambas ondas están en un mínimo. Este esquema está etiquetado como brillante (interferencia constructiva).

Figura 4. Las ondas siguen caminos diferentes desde las rendijas hasta un punto común en una pantalla. (a) Aquí se produce una interferencia destructiva, porque un camino es media longitud de onda más largo que el otro. Las ondas comienzan en fase pero llegan desfasadas. (b) Aquí se produce una interferencia constructiva porque un camino es una longitud de onda más larga que el otro. Las ondas comienzan y llegan en fase.

Experimento para llevar a casa: Usando los dedos como rendijas

Mira una luz, como la de una farola o una bombilla incandescente, a través de la estrecha rendija entre dos dedos mantenidos juntos. ¿Qué tipo de patrón ves? ¿Cómo cambia cuando dejas que los dedos se separen un poco más? ¿Es más claro para una fuente monocromática, como la luz amarilla de una lámpara de vapor de sodio, que para una bombilla incandescente?

La figura es un esquema de un experimento de doble rendija, con la escala de las rendijas ampliada para mostrar el detalle. Las dos rendijas están a la izquierda y la pantalla a la derecha. Las rendijas están representadas por una línea vertical gruesa con dos huecos cortados a una distancia d. Dos rayos, uno procedente de cada rendija, forman un ángulo hacia arriba y hacia la derecha con un ángulo theta sobre la horizontal. En la pantalla, estos rayos convergen en un punto común. El rayo que sale de la rendija superior se marca como l sub uno, y el rayo que sale de la rendija inferior se marca como l sub dos. En las rendijas se dibuja un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa está formada por la línea gruesa entre las rendijas. La hipotenusa se denomina d, que es la distancia entre las rendijas. Un trozo corto del rayo procedente de la rendija inferior se denomina delta l y forma el lado corto del triángulo rectángulo. El lado largo del triángulo rectángulo está formado por un segmento de línea que va hacia abajo y hacia la derecha desde la rendija superior hasta el rayo inferior. Este segmento de línea es perpendicular al rayo inferior, y el ángulo que forma con la hipotenusa se denomina theta. Debajo de este triángulo está la fórmula delta l es igual a d seno theta.

Figura 5. Las trayectorias desde cada rendija a un punto común en la pantalla difieren en una cantidad dsinθ, suponiendo que la distancia a la pantalla es mucho mayor que la distancia entre rendijas (no está a escala aquí).

La figura 5 muestra cómo determinar la diferencia de longitud de trayectoria para las ondas que viajan desde dos rendijas a un punto común en una pantalla. Si la pantalla está a una gran distancia comparada con la distancia entre las rendijas, entonces el ángulo θ entre la trayectoria y una línea desde las rendijas a la pantalla (ver la figura) es casi el mismo para cada trayectoria. La diferencia entre las trayectorias se muestra en la figura; la trigonometría simple muestra que es d sin θ, donde d es la distancia entre las rendijas. Para obtener una interferencia constructiva en una doble rendija, la diferencia de longitud de la trayectoria debe ser un múltiplo integral de la longitud de onda, o d sin θ = mλ, para m = 0, 1, -1, 2, -2, . . . (constructivo).

De forma similar, para obtener una interferencia destructiva para una doble rendija, la diferencia de longitud de la trayectoria debe ser un múltiplo semi-integral de la longitud de onda, o

d\sin\theta=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda\text{, para }m=0,1,-1,2,-2,\dots\text{(destructivo)},

donde λ es la longitud de onda de la luz, d es la distancia entre rendijas, y θ es el ángulo con respecto a la dirección original del haz como se ha comentado anteriormente. Llamamos m al orden de la interferencia. Por ejemplo, m = 4 es una interferencia de cuarto orden.

Las ecuaciones de la interferencia de doble rendija implican que se forma una serie de líneas brillantes y oscuras. En el caso de las rendijas verticales, la luz se propaga horizontalmente a ambos lados del haz incidente en un patrón llamado franjas de interferencia, ilustrado en la figura 6. La intensidad de las franjas brillantes disminuye a cada lado, siendo más brillante en el centro. Cuanto más cerca están las rendijas, más se extienden las franjas brillantes. Podemos ver esto examinando la ecuación d sin θ = mλ, para m = 0, 1, -1, 2, -2, . . .

Para λ y m fijos, cuanto menor sea d, mayor debe ser θ, ya que \sin\theta=\frac{m\lambda}{d}\. Esto es coherente con nuestra afirmación de que los efectos de la onda son más notables cuando el objeto con el que se encuentra la onda (en este caso, las rendijas a una distancia d) es pequeño. Un d pequeño da un θ grande, y por tanto un efecto grande.

La figura consta de dos partes dispuestas una al lado de la otra. El diagrama de la izquierda muestra una disposición de doble rendija junto con un gráfico del patrón de intensidad resultante en una pantalla distante. El gráfico está orientado verticalmente, de modo que los picos de intensidad crecen hacia fuera y hacia la izquierda de la pantalla. El pico de intensidad máxima está en el centro de la pantalla, y algunos picos menos intensos aparecen a ambos lados del centro. Estos picos se vuelven progresivamente más tenues al alejarse del centro, y son simétricos con respecto al pico central. La distancia entre el máximo central y el primer pico más tenue se denomina y sub uno, y la distancia entre el máximo central y el segundo pico más tenue se denomina y sub dos. La ilustración de la derecha muestra barras horizontales gruesas y brillantes sobre un fondo oscuro. Cada barra horizontal está alineada con uno de los picos de intensidad de la primera figura.

Figura 6. El patrón de interferencia para una doble rendija tiene una intensidad que cae con el ángulo. La fotografía muestra múltiples líneas brillantes y oscuras, o franjas, formadas por la luz que pasa a través de una doble rendija.

Ejemplo 1. Encontrar una longitud de onda a partir de un patrón de interferencia

Supongamos que se hace pasar la luz de un láser de He-Ne a través de dos rendijas separadas por 0,0100 mm y se encuentra que la tercera línea brillante en una pantalla se forma en un ángulo de 10,95º con respecto al rayo incidente. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz?

Estrategia

La tercera línea brillante se debe a una interferencia constructiva de tercer orden, lo que significa que m = 3. Nos dan d = 0,0100 mm y θ = 10,95º. Por tanto, la longitud de onda se puede encontrar utilizando la ecuación d sin θ = mλ para la interferencia constructiva.

Solución

La ecuación es d sin θ = mλ. Resolviendo para la longitud de onda λ se obtiene \lambda=\frac{d\sin\theta}{m}\.

Sustituyendo los valores conocidos se obtiene

egin{array} {lll}lambda&&rac{left(0.0100{nm}\right)\left(\sin10.95^{\\círculo}\cd)}{3}{\i} { {\i1}Texto{\i}{\i}

=&6.33\times10^{-4}{conocido como «nm»}=633{conocido como «nm»}{end}{array}{conocido como «nm»}

Discusión

A tres dígitos, esta es la longitud de onda de la luz emitida por el láser He-Ne común. No por casualidad, este color rojo es similar al que emiten las luces de neón. Sin embargo, es más importante el hecho de que los patrones de interferencia pueden utilizarse para medir la longitud de onda. Young lo hizo para las longitudes de onda visibles. Esta técnica analítica se sigue utilizando ampliamente para medir los espectros electromagnéticos. Para un orden dado, el ángulo para la interferencia constructiva aumenta con λ, por lo que se pueden obtener espectros (mediciones de la intensidad frente a la longitud de onda).

Ejemplo 2. Calcular el mayor orden posible

Los patrones de interferencia no tienen un número infinito de líneas, ya que hay un límite a lo grande que puede ser m. Cuál es la interferencia constructiva de mayor orden posible con el sistema descrito en el ejemplo anterior?

Estrategia y concepto

La ecuación d sin θ = mλ (para m = 0, 1, -1, 2, -2, . . . ) describe la interferencia constructiva. Para valores fijos de d y λ, cuanto mayor es m, mayor es sin θ. Sin embargo, el valor máximo que puede tener sin θ es 1, para un ángulo de 90º. (Los ángulos mayores implican que la luz va hacia atrás y no llega a la pantalla). Encontremos qué m corresponde a este ángulo máximo de difracción.

Solución

Resolviendo la ecuación d sin θ = mλ para m se obtiene \lambda=\frac{d\sin\theta}{m}\.

Tomando sin θ = 1 y sustituyendo los valores de d y λ del ejemplo anterior se obtiene

displaystyle{m}=\frac{[0.0100{texto} {derecho})}{633{texto}{aproximadamente15,8{p>

Por lo tanto, el mayor número entero que puede ser m es 15, o m = 15.

Discusión

El número de franjas depende de la longitud de onda y de la separación de la rendija. El número de franjas será muy grande para separaciones de rendijas grandes. Sin embargo, si la separación de las rendijas es mucho mayor que la longitud de onda, la intensidad del patrón de interferencia cambia de modo que la pantalla tiene dos líneas brillantes proyectadas por las rendijas, como se espera cuando la luz se comporta como un rayo. También observamos que las franjas se hacen más tenues cuanto más se alejan del centro. En consecuencia, no todas las 15 franjas pueden ser observables.

Resumen de la sección

  • El experimento de la doble rendija de Young dio la prueba definitiva del carácter ondulatorio de la luz.
  • Se obtiene un patrón de interferencia por la superposición de la luz de dos rendijas.
  • Hay interferencia constructiva cuando d sin θ = mλ (para m = 0, 1, -1, 2, -2, . ), donde d es la distancia entre las rendijas, θ es el ángulo relativo a la dirección incidente y m es el orden de la interferencia.
  • Hay interferencia destructiva cuando d sin θ = mλ (para m = 0, 1, -1, 2, -2, . . . ).
  • Preguntas conceptuales

    1. El experimento de la doble rendija de Young rompe un único haz de luz en dos fuentes. Se obtendría el mismo patrón para dos fuentes de luz independientes, como los faros de un coche lejano? Explica.
    2. Supón que utilizas la misma doble rendija para realizar el experimento de la doble rendija de Young en el aire y luego repites el experimento en el agua. Aumentan o disminuyen los ángulos de las mismas partes del patrón de interferencia? Cambia el color de la luz? Explica.
    3. ¿Es posible crear una situación en la que sólo haya interferencia destructiva? Explique.
    4. La figura 7 muestra la parte central del patrón de interferencia para una longitud de onda pura de luz roja proyectada sobre una doble rendija. El patrón es en realidad una combinación de interferencia de rendija simple y de rendija doble. Observe que los puntos brillantes están espaciados uniformemente. ¿Se trata de una característica de doble rendija o de rendija simple? Observe que algunos de los puntos brillantes son tenues a ambos lados del centro. ¿Se trata de una característica de hendidura simple o de hendidura doble? Qué es más pequeño, el ancho de la rendija o la separación entre rendijas? Explica tus respuestas.
    La figura muestra una foto de una línea horizontal de puntos de luz rojos igualmente espaciados sobre un fondo negro. El punto central es el más brillante y los puntos a ambos lados del centro son más tenues. La intensidad de los puntos disminuye hasta casi cero después de mover seis puntos a la izquierda o a la derecha del centro. Si continúa alejándose del centro, el brillo del punto aumenta ligeramente, aunque no alcanza el brillo del punto central. Después de mover otros seis puntos, o doce puntos en total, a la izquierda o a la derecha del centro, hay otro punto casi invisible. Si se aleja aún más del centro, la intensidad del punto vuelve a aumentar, pero no alcanza el nivel del máximo local anterior. A dieciocho puntos del centro, hay otro punto casi invisible.

    Figura 7. Este patrón de interferencia de doble rendija también muestra signos de interferencia de una sola rendija. (crédito: PASCO)

    Problemas & Ejercicios

    1. ¿En qué ángulo se encuentra el máximo de primer orden para la luz azul de 450 nm de longitud de onda que cae sobre rendijas dobles separadas por 0.
    2. Calcule el ángulo para el máximo de tercer orden de la luz amarilla de longitud de onda de 580 nm que cae sobre rendijas dobles separadas por 0.100 mm.
    3. ¿Cuál es la separación entre dos rendijas para la cual la luz naranja de 610-nm tiene su primer máximo en un ángulo de 30,0º?
    4. Encuentre la distancia entre dos rendijas que produce el primer mínimo para la luz violeta de 410-nm en un ángulo de 45.0º.
    5. Calcule la longitud de onda de la luz que tiene su tercer mínimo en un ángulo de 30,0º cuando cae en rendijas dobles separadas por 3,00 μm.
    6. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz que cae en rendijas dobles separadas por 2,00 μm si el máximo de tercer orden está en un ángulo de 60,0º?
    7. ¿A qué ángulo se encuentra el máximo de cuarto orden para la situación de la pregunta 1?
    8. ¿Cuál es el máximo de primer orden para la luz de 400 nm que cae en rendijas dobles separadas por 25,0 μm?
    9. Encuentra la mayor longitud de onda de la luz que cae en rendijas dobles separadas por 1,20 μm para la que existe un máximo de primer orden. ¿Está en la parte visible del espectro?
    10. ¿Cuál es la menor separación entre dos rendijas que producirá un máximo de segundo orden para la luz roja de 720 nm?
    11. (a) ¿Cuál es la menor separación entre dos rendijas que producirá un máximo de segundo orden para cualquier luz visible? (b) ¿Para toda la luz visible?
    12. (a) Si el máximo de primer orden para la luz de longitud de onda pura que incide sobre una rendija doble se encuentra en un ángulo de 10,0º, ¿en qué ángulo se encuentra el máximo de segundo orden? (b) ¿Cuál es el ángulo del primer mínimo? (c) ¿Cuál es el máximo de mayor orden posible aquí?
    13. La figura 8 muestra una doble rendija situada a una distancia x de una pantalla, con la distancia desde el centro de la pantalla dada por y. Cuando la distancia d entre las rendijas es relativamente grande, habrá numerosos puntos brillantes, llamados franjas. Demostrar que, para ángulos pequeños (donde \text{sin}\theta\approx\theta\, con θ en radianes), la distancia entre las franjas viene dada por \Delta{y}=\frac{x\lambda}{d}\\\t}.
      La figura muestra un esquema de un experimento de doble rendija. Una doble rendija está a la izquierda y una pantalla a la derecha. Las rendijas están separadas por una distancia d. Desde el punto medio entre las rendijas, una línea horizontal marcada como x se extiende hasta la pantalla. Desde el mismo punto, una línea en ángulo hacia arriba con un ángulo theta sobre la horizontal también se extiende hasta la pantalla. La distancia entre el punto en el que la línea horizontal llega a la pantalla y el punto en el que la línea angulada llega a la pantalla está marcada como y, y la distancia entre franjas adyacentes viene dada por delta y, que es igual a x por lambda sobre d.

      Figura 8. La distancia entre franjas adyacentes es \Delta{y}=\frac{x\lambda}{d}\, suponiendo que la separación de las rendijas d es grande comparada con λ.

    14. Utilizando el resultado del problema anterior, calcule la distancia entre franjas para una luz de 633 nm que cae en rendijas dobles separadas por 0.0800 mm, situada a 3,00 m de una pantalla como la de la figura 8.
    15. Utilizando el resultado del problema dos problemas anteriores, encuentre la longitud de onda de la luz que produce franjas separadas 7,50 mm en una pantalla a 2,00 m de las dobles rendijas separadas 0,120 mm (ver figura 8).

    Glosario

    coherente: las ondas están en fase o tienen una relación de fase definida

    interferencia constructiva para una doble rendija: la diferencia de longitud de camino debe ser un múltiplo integral de la longitud de onda

    interferencia destructiva para una doble rendija: la diferencia de longitud de camino debe ser un múltiplo semi-integral de la longitud de onda

    Incoherente: las ondas tienen relaciones de fase aleatorias

    Orden: el número entero m utilizado en las ecuaciones para la interferencia constructiva y destructiva para una doble rendija

    Soluciones seleccionadas de problemas &

    1. 0,516º

    3. 1,22 × 10-6 m

    5. 600 nm

    7. 2,06º

    9. 1200 nm (no visible)

    11. (a) 760 nm; (b) 1520 nm

    13. Para ángulos pequeños sin θ – tan θ ≈ θ (en radianes).

    Para dos franjas adyacentes tenemos, d sin θm = mλ y d sin θm + 1 = (m + 1)λ

    Subrayando estas ecuaciones se obtiene

    begin{array}{}d\left(\sin{\theta }_{text{m}+1}-\derecha)=Izquierda (d) izquierda ({{texto}+1}-)derecha)=lambda \N-texto{tan}=fracción{y}_{texto{m}}aproximadamente {{texto{m}}.\frac{y}_{texto{m}}{x}d})={lambda} d\frac{{{delta y}{x}={lambda}{flecha}{d} y={frac{mathrm{x\lambda}{d}final{array}{p>

    15. 450 nm