Ellipsoïde

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L’ellipsoïde général, aussi appelé ellipsoïde triaxial, est une surface quadratique qui est donnée en coordonnées cartésiennes par

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=1,
(1)

où les demi-axes sont de longueurs ab, et c. En coordonnées sphériques, cela devient

(r^2cos^2thetasin^2phi)/(a^2)+(r^2sin^2thetasin^2phi)/(b^2)+(r^2cos^2phi)/(c^2)=1.
(2)

Si les longueurs de deux axes d’un ellipsoïde sont les mêmes, la figure est appelée un sphéroïde (selon que ca ou ca, un sphéroïde aplati ou un sphéroïde prolongé, respectivement), et si les trois sont les mêmes, c’est une sphère. Tietze (1965, p. 28) appelle l’ellipsoïde général un  » ellipsoïde triaxial « .

Il existe deux familles de sections circulaires parallèles dans chaque ellipsoïde. Cependant, les deux coïncident pour les sphéroïdes (Hilbert et Cohn-Vossen 1999, pp. 17-19). Si les deux familles de cercles sont fixées l’une à l’autre par des fentes convenablement choisies de manière à pouvoir tourner sans glisser, le modèle est mobile. De plus, les disques peuvent toujours être déplacés pour prendre la forme d’une sphère (Hilbert et Cohn-Vossen 1999, p. 18).

En 1882, Staude découvre une construction  » filaire  » pour un ellipsoïde analogue à la construction par crayon tendu et ficelle de l’ellipse (Hilbert et Cohn-Vossen 1999, p. 19-22). Cette construction fait usage d’un cadre fixe constitué d’une ellipse et d’une hyperbole.

Les équations paramétriques d’un ellipsoïde peuvent être écrites comme

.

.

.

x = acosusinv
(3)
y = bsinusinv
(4)
z = ccosv.
(5)

pour u dans.

Dans cette paramétrisation, les coefficients de la forme fondamentale première sont

E =
.(b^2cos^2u+a^2sin^2u)sin^2v(b^2cos^2u+a^2sin^2u)sin^2v
(6)
F = (b^2-a^2)cosusinucosvsinv
(7)
G = (a^2cos^2u+b^2sin^2u)cos^2v+c^2sin^2v,
(8)

et de la deuxième forme fondamentale sont

. forme fondamentale sont

.

.

e =
(abcsin^2v)/(sqrt(a^2b^2cos^2v+c^2(b^2cos^2u+a^2sin^2u)sin^2v))
(9)
f = 0
(10)
g = (abc)/(sqrt(a^2b^2cos^2v+c^2(b^2cos^2u+a^2sin^2u)sin^2v)).
(11)

Aussi dans cette paramétrisation, la courbure gaussienne est

.

K=(a^2b^2c^2)/(^2)
(12)

et la courbure moyenne est

H=(abc)/(8^(3/2)).
(13)

La courbure gaussienne peut être donnée implicitement par

la courbure gaussienne. donnée implicitement par

K(x,y,z) = (a^2b^6c^6)/(^2)
(14)
=
(a^6b^2c^6)/(^2)
(15)
= (a^6b^6c^2)/(^2).
(16)

L’aire de surface d’un ellipsoïde est donnée par

S =

.2piabnsthetaint_0^theta((dn^2theta)/(dn^2u)+(cn^2theta)/(cn^2u))du2piabnsthetaint_0^theta((dn^2theta)/(dn^2u)+(cn^2theta)/(cn^2u))du

(17)
= 2pi,
(18)

ns(thêta)dn(theta), et cn(theta) sont des fonctions elliptiques de Jacobi de module k,

.

k = (e_2)/(e_1)
(19)
e_1
= sqrt((a^2-c^2)/(a^2))
(20)
e_2 = sqrt((b^2-c^2)/(b^2)),
(21)

E(phi,k) est une intégrale elliptique incomplète de seconde espèce, am(phi) est l’amplitude de Jacobi de module k, et theta est donnée en inversant l’expression

e_1=sn(theta,k),
(22)

sn(thêta) est une autre fonction elliptique de Jacobi de module k (Bowman 1961, pp. 31-32 ; erreur corrigée).

Une autre forme de l’équation de la surface est

S=2pi,
(23)

phi=sin^(-1)(sqrt(1-(c^2)/(a^2))).
(24)

L’aire de surface peut également être obtenue directement à partir de la forme fondamentale première comme

.

.

S = int_0^piint_0^(2pi)sqrt(EG-F^2)dthetadphi
(25)
= int_0^pisinphiint_0^(2pi)sqrt(a^2b^2cos^2phi+c^2(b^2cos^2theta+a^2sin^2theta)sin^2phi)dthetadphi
(26)
= 2sqrt(2)bint_0^pisqrt(a^2+c^2+(a^2-c^2)cos(2phi))sinphi×E(c/bsqrt((2(b^2-a^2))/(a^2+c^2+(a^2-c^2)cos(2phi)))sinphi)dphi.
(27)

Une autre paramétrisation de l’ellipsoïde est l’ellipsoïde dit stéréographique,donné par les équations paramétriques

x(u,v) = (a(1-u^2-v^2))/(1+u^2+v^2)
(28)
y(u,v) = (2bu)/(1+u^2+v^2)
(29)
z(u,v) = (2cv)/(1+u^2+v^2).
(30)

EllipsoïdeMercator

Une troisième paramétrage est celui de Mercator

x(u,v) = asechvcosu
(31)
y(u,v) = bsechvsinu
(32)
z(u,v) = ctanhv
(33)

(Gray 1997).

La fonction de support de l’ellipsoïde est

h=((x^2)/(a^4)+(y^2)/(b^4)+(z^2)/(c^4))^(-1/2),
(34)

et la courbure gaussienne est

.

K=(h^4)/(a^2b^2c^2)
(35)

(Gray 1997, p. 296).

Le volume du solide délimité par un ellipsoïde de longueurs de demi-axe a,b,c est donné par

V=4/3piabc.
(36)

Les centroïdes géométriques des demi-ellipsoïdes solides le long de la xy-, et z-sont

x^_
=
3/(16)a
(37)
y^_ = 3/(16)b
(38)
z^_ = 3/(16)c.
(39)

Le moment d’inertie du tenseur de inertie d’un ellipsoïde solide est donné par

I=.
(40)

.